Почему нот семь(двенадцать)?

Как это часто бывает, на самые простые вопросы бывают очень сложные ответы. Недавно подумалось, что в музыкальной школе  никто не объяснял, или просто кое-кто не спрашивал, почему же количество звуков в октаве — 12 (7 нот + 5 ). Откуда взялась мировая константа в 12, кто ее придумал и что, если это было не 12, а, допустим, 15 — кроме конечно, увеличения количества клавиш на фортепиано/баяне.. 🙂

Не совсем в тему топик на вездесущем луркморе.

Обратимся к теории.  В брошюре «Устройство музыкальной шкалы» автор задается по сути тем же вопросом — происхождения общепринятой звуковой линейки.

Первое, довольное естественное положение, утверждает необходимость наличия в звукоряде звука с удвоенной частотой. Это объясняется тем, что струна, колеблющаяся, например с частотой 220 Гц, создает так же и колебания с частотой 440 Гц (частота ноты ля)

Следующее положение не менее важно. Должна быть возможность переноса мелодии вверх и вниз по шкале без искажений. Любую мелодию можно спеть как низко, так и высоко, басом или сопрано. Здесь, однако, в доказательстве у Шилова, мне показалось, что он доказывал другое — то, что отношения частоты звука к следующей частоте равны. Если доказывать по-честному, то сразу получилось бы противоречие, о котором будет сказано позднее.  Таким образом, весь интервал из частот от fo до fm+1 должен представлять собой геометрическую прогрессию, знаменатель которой легко вычислить:

q=sqrt[m]{2}.

Далее, вводится условие на то, что в звукоряде помимо удвоенной гармоники должна присутствовать и утроенная(по тем же физическим причинам , что и удвоенная). Тогда имеет полное право на существование звук с частотой:

f=3/2f_{0}.

C этой частотой должна совпадать одна из наших m-ступенек, допустим с номером k.

log _2 {frac {3}{2}f_{0}} =log _2 {[f_{0}*sqrt[m]{2} ^ k]} .

log _2 {frac {3}{2}} = frac {k}{m}

Так как логарифм в левой части число иррациональное, то курс школьной математики подсказывает нам, что уравнение не имеет решения в целых числах. Мы получили  противоречие условий: невозможно выполнить условие равномерности шкалы тонов и наличие частоты f=3/2f_{0}. Интервал (f_{0}; f=3/2f_{0}) называют чистой квинтой.

Получается, что нужно от чего-нибудь отказываться.  Равномерность шкалы обеспечивает возможность перевода мелодии вверх и вниз и отказываться от этого совсем не хочется. А вот чистую квинту можно подкорректировать так, чтобы значение  frac {k}{m} было максимально близко к log _2 {frac {3}{2}} . Тогда  искажение интервала будет не сильно заметно на слух. Например, выбрав максимальную погрешность в 1 герц, для первой октавы, диапазон которой в интервале от 262 до 523 герц составит 261 Гц. Тогда  frac {1}{261} approx 0.004 на логарифмической шкале соответствует 1 Гц на обычной. Нужно обеспечить разрыв между числами log _2 {frac {3}{2}} =0.585 и  frac {k}{m} менее, чем в половину второго знака после запятой.

Далее с помощью цепных дробей (не буду вдаваться в детали, полностью можно прочесть в оригинале) подбирается рациональное значение логарифма.

 x_1= frac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{u}}}=frac{1}{1+frac{1}{u}}=frac{1}{2}

Шкала из двух нот нас явно не устраивает, идем дальше.

x_2=frac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{2+frac{1}{v}}}}=frac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{2}}}=frac{3}{5}=0.6

Разница между 0.6 и 0.585 все еще велика.

x_3=frac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{2+frac{1}{2+cdots}}}}=frac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{2+frac{1}{2}}}}=frac{7}{12}=0.583

 

Ошибка в 0.002 равна половине допустимой. Таким образом, двенадцатиступенчатая шкала решает задачу равномерности музыкальной шкалы и обеспечения невысокой ошибки в чистой квинте.

Конечно, все не так уж и понятно, как хотелось бы. Например, при всей логичности объяснения появления числа 12,  в брошюре есть рассуждение о том что такая равномерная шкала, появилась только около 1700 года с развитием математики. Однако, тут же указывается на то, что шкала с 12 делениями была  и до этого времени, просто она не была равномерной. То есть получается, что число 12 все-таки было подобрано методом научного тыка.

В Википедии говорится об обосновании 12-ступенного равномерного строя еще в 1584 году.

И было бы преступлением не вспомнить великого Баха, который первым доказал жизнеспособность такой системы, создав «Хорошо темперированный клавир», пьесы в котором были во всех 24 тональностях. Слушаем фугу ми-минор 🙂
[audio:http://yahnev.ru/wp-content/uploads/2011/05/Bach fogue BWV 533.mp3|titles=BWV 533 Фуга ми-минор]


Комментарии:

Почему нот семь(двенадцать)?: 6 комментариев

  1. А я с детства считал, что количество полутонов обусловлено возможностью человеческого восприятия двух минимально отличающихся на слух звуков. И сейчас так считаю 🙂

    1. Это логичное предположение, но во-первых, я нигде пока не видел ссылок на подобные эксперименты, учитывая, что количество было выбрано очень давно, это равносильно тому, чтобы признать, что оно назначено с потолка; во-вторых если и так, то всегда найдется человек, который слышит больше полутонов, на той же википедии ссылки на существование строя из 19, 24, 31 и 53 равномерных интервалов, если бы мы слышали только 12 полутонов, то это было бы абсолютно бессмысленно.

    2. Полутон? Два минимально различимых звука?? Ну нееет. В индийской музыке используют четвертьтона, в блюзе и вообще народной музыке используются завышения и занижения чистых нот, что несмоненно украшает мелодию. Игру армянского дудука например вообще сложно записать нотной грамотой. А человеческое ухо способно воспринять разницу в несколько центов (сотая часть полутона), экспериментально доказано. Иначе бы не было такой профессии как настройщик пианино, который приходил к вам домой всего лишь с камертоном и без всяких тюнеров.

  2. Котегорически не согласен с утверждением об обусловленности полутонов ограничением человеческого восприятия.
    Во-первых: я частенько мучаюсь когда в голове возникают мелодии, импровизации, а я не могу найти этот звук на клавиатуре фортепьяно, но при поиске выясняется что этот звук находится между двух ближайших нот.
    Во-вторых: на некоторых инструментах, кларнете к примеру, можно при зажатии соответствующих клапанов извлекать звуки промежуточные между двумя ближайшими нотами, и причем несколько! и это круто используется в различных техниках, и для подчеркивания различных моментов в процессе игры, ты можешь взять звук лишь немного выше или ниже, но это слышно) звук может показаться более мажорным, если разрешается или более минорным и т.п., можно на форте уйти на звук немного выше оригинального, тоже классно)
    В-третьих: эти особенности динамики и звукоряда на кларнете используются для различных техник, когда берется несколько звуков одновременно смешанных, и джазовых и куча всего где используются короче)

    1. Не понял как Вы считали, посчитал сам. На 5-ти нотах отклонение от квинты сразу получилось 1.05%, но наверное 5 нот мало 🙂 На 12-ти нотах отклонение от квинты 1.13% что тоже не много (у альтернатив отклонение обычно больше, но не всегда). Если посмотреть дальше то резко уменьшается отклонение у 17 нот (0.23%), 24 ноты (0.12%) и 29 нот (0.09%). 24 совпадает с одним из альтернативных равномерных темпераций, но и у 19, 31 и 53 отклонение тоже не большое.

      Также в англовики пишут про равномерный тоновый лад для 5 и 7 нот, только на них (до 17) отклонения от квинты меньше чем на 12-ти нотах (1.05 и 0.94% соотв.).

      Кстати ноты пока не бросил попытки научится играть, ноты записывал в 12-тиричной системе счисления (моя модификация двух популярных нотаций — integer нотации и какой-то университетской, там записывается сначала нота, потом октава, а я записываю сначала октаву, а потом ноту — все как в обычной системе счисления, легко определять разницу и транспонировать… ну легче).

      Подозреваю что на количество нот в равномерном строе влияют и другие консонансы кроме октавы и квинты, но уже не возьмусь считать.

  3. Шутка: нужно создать строй, не обязательно равномерный, но где будут одни консонансы — играй не хочу, транспонировал — новая музыка. (Наверное останутся только одни октавы, будет 12 нот всего с учетом всех октав)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *