Как это часто бывает, на самые простые вопросы бывают очень сложные ответы. Недавно подумалось, что в музыкальной школе никто не объяснял, или просто кое-кто не спрашивал, почему же количество звуков в октаве — 12 (7 нот + 5 ). Откуда взялась мировая константа в 12, кто ее придумал и что, если это было не 12, а, допустим, 15 — кроме конечно, увеличения количества клавиш на фортепиано/баяне.. 🙂
Не совсем в тему топик на вездесущем луркморе.
Обратимся к теории. В брошюре «Устройство музыкальной шкалы» автор задается по сути тем же вопросом — происхождения общепринятой звуковой линейки.
Первое, довольное естественное положение, утверждает необходимость наличия в звукоряде звука с удвоенной частотой. Это объясняется тем, что струна, колеблющаяся, например с частотой 220 Гц, создает так же и колебания с частотой 440 Гц (частота ноты ля)
Следующее положение не менее важно. Должна быть возможность переноса мелодии вверх и вниз по шкале без искажений. Любую мелодию можно спеть как низко, так и высоко, басом или сопрано. Здесь, однако, в доказательстве у Шилова, мне показалось, что он доказывал другое — то, что отношения частоты звука к следующей частоте равны. Если доказывать по-честному, то сразу получилось бы противоречие, о котором будет сказано позднее. Таким образом, весь интервал из частот от fo до fm+1 должен представлять собой геометрическую прогрессию, знаменатель которой легко вычислить:
.
Далее, вводится условие на то, что в звукоряде помимо удвоенной гармоники должна присутствовать и утроенная(по тем же физическим причинам , что и удвоенная). Тогда имеет полное право на существование звук с частотой:
.
C этой частотой должна совпадать одна из наших m-ступенек, допустим с номером k.
.
Так как логарифм в левой части число иррациональное, то курс школьной математики подсказывает нам, что уравнение не имеет решения в целых числах. Мы получили противоречие условий: невозможно выполнить условие равномерности шкалы тонов и наличие частоты . Интервал называют чистой квинтой.
Получается, что нужно от чего-нибудь отказываться. Равномерность шкалы обеспечивает возможность перевода мелодии вверх и вниз и отказываться от этого совсем не хочется. А вот чистую квинту можно подкорректировать так, чтобы значение было максимально близко к . Тогда искажение интервала будет не сильно заметно на слух. Например, выбрав максимальную погрешность в 1 герц, для первой октавы, диапазон которой в интервале от 262 до 523 герц составит 261 Гц. Тогда на логарифмической шкале соответствует 1 Гц на обычной. Нужно обеспечить разрыв между числами и менее, чем в половину второго знака после запятой.
Далее с помощью цепных дробей (не буду вдаваться в детали, полностью можно прочесть в оригинале) подбирается рациональное значение логарифма.
Шкала из двух нот нас явно не устраивает, идем дальше.
Разница между 0.6 и 0.585 все еще велика.
Ошибка в 0.002 равна половине допустимой. Таким образом, двенадцатиступенчатая шкала решает задачу равномерности музыкальной шкалы и обеспечения невысокой ошибки в чистой квинте.
Конечно, все не так уж и понятно, как хотелось бы. Например, при всей логичности объяснения появления числа 12, в брошюре есть рассуждение о том что такая равномерная шкала, появилась только около 1700 года с развитием математики. Однако, тут же указывается на то, что шкала с 12 делениями была и до этого времени, просто она не была равномерной. То есть получается, что число 12 все-таки было подобрано методом научного тыка.
В Википедии говорится об обосновании 12-ступенного равномерного строя еще в 1584 году.
И было бы преступлением не вспомнить великого Баха, который первым доказал жизнеспособность такой системы, создав «Хорошо темперированный клавир», пьесы в котором были во всех 24 тональностях. Слушаем фугу ми-минор 🙂
[audio:http://yahnev.ru/wp-content/uploads/2011/05/Bach fogue BWV 533.mp3|titles=BWV 533 Фуга ми-минор]
А я с детства считал, что количество полутонов обусловлено возможностью человеческого восприятия двух минимально отличающихся на слух звуков. И сейчас так считаю 🙂
Это логичное предположение, но во-первых, я нигде пока не видел ссылок на подобные эксперименты, учитывая, что количество было выбрано очень давно, это равносильно тому, чтобы признать, что оно назначено с потолка; во-вторых если и так, то всегда найдется человек, который слышит больше полутонов, на той же википедии ссылки на существование строя из 19, 24, 31 и 53 равномерных интервалов, если бы мы слышали только 12 полутонов, то это было бы абсолютно бессмысленно.
Полутон? Два минимально различимых звука?? Ну нееет. В индийской музыке используют четвертьтона, в блюзе и вообще народной музыке используются завышения и занижения чистых нот, что несмоненно украшает мелодию. Игру армянского дудука например вообще сложно записать нотной грамотой. А человеческое ухо способно воспринять разницу в несколько центов (сотая часть полутона), экспериментально доказано. Иначе бы не было такой профессии как настройщик пианино, который приходил к вам домой всего лишь с камертоном и без всяких тюнеров.
Котегорически не согласен с утверждением об обусловленности полутонов ограничением человеческого восприятия.
Во-первых: я частенько мучаюсь когда в голове возникают мелодии, импровизации, а я не могу найти этот звук на клавиатуре фортепьяно, но при поиске выясняется что этот звук находится между двух ближайших нот.
Во-вторых: на некоторых инструментах, кларнете к примеру, можно при зажатии соответствующих клапанов извлекать звуки промежуточные между двумя ближайшими нотами, и причем несколько! и это круто используется в различных техниках, и для подчеркивания различных моментов в процессе игры, ты можешь взять звук лишь немного выше или ниже, но это слышно) звук может показаться более мажорным, если разрешается или более минорным и т.п., можно на форте уйти на звук немного выше оригинального, тоже классно)
В-третьих: эти особенности динамики и звукоряда на кларнете используются для различных техник, когда берется несколько звуков одновременно смешанных, и джазовых и куча всего где используются короче)
Не понял как Вы считали, посчитал сам. На 5-ти нотах отклонение от квинты сразу получилось 1.05%, но наверное 5 нот мало 🙂 На 12-ти нотах отклонение от квинты 1.13% что тоже не много (у альтернатив отклонение обычно больше, но не всегда). Если посмотреть дальше то резко уменьшается отклонение у 17 нот (0.23%), 24 ноты (0.12%) и 29 нот (0.09%). 24 совпадает с одним из альтернативных равномерных темпераций, но и у 19, 31 и 53 отклонение тоже не большое.
Также в англовики пишут про равномерный тоновый лад для 5 и 7 нот, только на них (до 17) отклонения от квинты меньше чем на 12-ти нотах (1.05 и 0.94% соотв.).
Кстати ноты пока не бросил попытки научится играть, ноты записывал в 12-тиричной системе счисления (моя модификация двух популярных нотаций — integer нотации и какой-то университетской, там записывается сначала нота, потом октава, а я записываю сначала октаву, а потом ноту — все как в обычной системе счисления, легко определять разницу и транспонировать… ну легче).
Подозреваю что на количество нот в равномерном строе влияют и другие консонансы кроме октавы и квинты, но уже не возьмусь считать.
Шутка: нужно создать строй, не обязательно равномерный, но где будут одни консонансы — играй не хочу, транспонировал — новая музыка. (Наверное останутся только одни октавы, будет 12 нот всего с учетом всех октав)
есть уже, пентатоника называется